10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y = 2x + \frac{8}{x}$$ на отрезке $$[-5; -1]$$.

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует) внутри отрезка.
3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения.

1. Найдем производную функции:

\[ y = 2x + 8x^{-1} \]

\[ y' = (2x)' + (8x^{-1})' \]

\[ y' = 2 + 8(-1)x^{-2} \]

\[ y' = 2 - \frac{8}{x^2} \]

2. Найдем критические точки:

Приравняем производную к нулю:

\[ 2 - \frac{8}{x^2} = 0 \]

\[ 2 = \frac{8}{x^2} \]

\[ 2x^2 = 8 \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = \pm 2 \]

Производная не существует при \( x = 0 \), но эта точка не входит в отрезок \( [-5; -1] \).

Из критических точек \( x = 2 \) и \( x = -2 \), только \( x = -2 \) принадлежит отрезку \( [-5; -1] \).

3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

Конец отрезка \( x = -5 \):

\[ y(-5) = 2(-5) + \frac{8}{-5} = -10 - \frac{8}{5} = -10 - 1.6 = -11.6 \]

Критическая точка \( x = -2 \):

\[ y(-2) = 2(-2) + \frac{8}{-2} = -4 - 4 = -8 \]

Конец отрезка \( x = -1 \):

\[ y(-1) = 2(-1) + \frac{8}{-1} = -2 - 8 = -10 \]

4. Сравним полученные значения:

Значения функции: -11.6, -8, -10.

Наибольшее значение равно -8.

Наименьшее значение равно -11.6.

Ответ: Наибольшее значение: -8, Наименьшее значение: -11.6.