7. Найдите точки экстремума и определите их характер: $$y = 2x^3 - 10x^2 + 6x$$.

Решение:

1. Найдём производную функции:

   \[ y' = (2x^3 - 10x^2 + 6x)' \]

   \[ y' = 6x^2 - 20x + 6 \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   \[ 6x^2 - 20x + 6 = 0 \]

   Разделим на 2:

   \[ 3x^2 - 10x + 3 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

   \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \]

4. Найдём корни уравнения:

   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]

   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

5. Определим характер экстремумов, используя вторую производную или анализ знака первой производной.

   Метод анализа знака первой производной:

   Производная \( y' = 6x^2 - 20x + 6 \) — парабола ветвями вверх. Корни \( x = \frac{1}{3} \) и \( x = 3 \).

   • При \( x < \frac{1}{3} \) (например, \( x=0 \)), \( y' = 6(0)^2 - 20(0) + 6 = 6 > 0 \) — функция возрастает.
   • При \( \frac{1}{3} < x < 3 \) (например, \( x=1 \)), \( y' = 6(1)^2 - 20(1) + 6 = 6 - 20 + 6 = -8 < 0 \) — функция убывает.
   • При \( x > 3 \) (например, \( x=4 \)), \( y' = 6(4)^2 - 20(4) + 6 = 6(16) - 80 + 6 = 96 - 80 + 6 = 22 > 0 \) — функция возрастает.

   Следовательно:

   • В точке \( x = \frac{1}{3} \) происходит смена знака с '+' на '—', значит, это точка минимума.
   • В точке \( x = 3 \) происходит смена знака с '—' на '+', значит, это точка максимума.

   Найдём значения функции в этих точках:

   При \( x = \frac{1}{3} \):

   \[ y\left(\frac{1}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 10\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 6\left(\frac{1}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{27}\right) - 10\left(\frac{1}{9}\right) + 2 = \frac{2}{27} - \frac{10}{9} + 2 = \frac{2 - 30 + 54}{27} = \frac{26}{27} \]

   При \( x = 3 \):

   \[ y(3) = 2(3)^3 - 10(3)^2 + 6(3) = 2(27) - 10(9) + 18 = 54 - 90 + 18 = -18 \]

Ответ: Точка минимума: \( x = \frac{1}{3} \), \( y = \frac{26}{27} \). Точка максимума: \( x = 3 \), \( y = -18 \).