№ 10. Найдите объём конуса, если его высота 3 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°.

Решение:

Введём обозначения:

• \( H \) — высота конуса, \( H = 3 \) см.
• \( L \) — длина образующей конуса.
• \( R \) — радиус основания конуса.
• \( \alpha \) — угол наклона образующей к плоскости основания, \( \alpha = 30^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. Угол между образующей и радиусом основания равен \( \alpha \).

Из определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

\( \text{tg}(\alpha) = \frac{H}{R} \)

Выразим радиус основания \( R \):

\[ R = \frac{H}{\text{tg}(\alpha)} \]

Подставим известные значения:

\[ R = \frac{3}{\text{tg}(30^{\circ})} = \frac{3}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3} \) см.

Объём конуса вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \]

Подставим значения \( R \) и \( H \):

\[ V = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 \]\[ V = \frac{1}{3} \pi (9 \cdot 3) \cdot 3 \]\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 27 \cdot 3 \]\[ V = 27 \(\pi\) \) см³.

Ответ: \( 27 \pi \) см³.