№ 9. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = 4 - x^2 \); \( y = 0 \)

Решение:

Фигура ограничена параболой \( y = 4 - x^2 \) и осью абсцисс \( y = 0 \).

Найдем точки пересечения параболы с осью \( Ox \), для этого приравняем \( y=0 \):

\[ 4 - x^2 = 0 \]\[ x^2 = 4 \]\[ x = \pm 2 \]

Парабола \( y = 4 - x^2 \) ветвями вниз, её вершина находится в точке \( (0, 4) \).

Площадь фигуры находится как интеграл от функции \( y = 4 - x^2 \) по отрезку от \( -2 \) до \( 2 \).

\[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx \]

Найдём первообразную:

\[ F(x) = 4x - \frac{x^3}{3} \]

Вычислим определённый интеграл:

\[ S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \]\[ S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 - \frac{-8}{3} \right) = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \]\[ S = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} \]

Ответ: \( \frac{32}{3} \).