10. Найдите, при каких значениях числа а функция $$y = x^3 +5x^2 + ах – 2$$ возрастает для всех действительных х.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции: $$y' = rac{d}{dx}(x^3 + 5x^2 + ax - 2) = 3x^2 + 10x + a$$.
2. Чтобы функция возрастала для всех действительных $$x$$, производная $$y'$$ должна быть неотрицательной для всех $$x$$, то есть $$3x^2 + 10x + a ≥ 0$$ для всех $$x$$.
3. Это квадратичное неравенство. Парабола $$y = 3x^2 + 10x + a$$ должна быть расположена выше или касаться оси абсцисс. Это условие выполняется, если дискриминант квадратного трехчлена неположителен (т.е. меньше или равен нулю).
4. Дискриминант $$D$$ для квадратного трехчлена $$Ax^2 + Bx + C$$ равен $$D = B^2 - 4AC$$. В нашем случае $$A=3$$, $$B=10$$, $$C=a$$.
5. Вычислим дискриминант: $$D = 10^2 - 4 ∙ 3 ∙ a = 100 - 12a$$.
6. Приравняем дискриминант к нулю или сделаем его отрицательным: $$D ≤ 0 ⇒ 100 - 12a ≤ 0$$.
7. Решим неравенство относительно $$a$$: $$100 ≤ 12a ⇒ a ≥ rac{100}{12} ⇒ a ≥ rac{25}{3}$$.

Ответ: $$a ≥ rac{25}{3}$$