7. Найдите наименьшее значение функции $$y = x^3 +x^2$$ на отрезке [-0,5; 1].

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции: $$y' = rac{d}{dx}(x^3 + x^2) = 3x^2 + 2x$$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$3x^2 + 2x = 0 ⇒ x(3x + 2) = 0$$. Критические точки: $$x=0$$ и $$x = -rac{2}{3}$$.
3. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок $$[-0.5; 1]$$:
   • $$x=0$$ попадает в отрезок.
   • $$x=-rac{2}{3} ≈ -0.667$$. Эта точка НЕ попадает в отрезок $$[-0.5; 1]$$.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попадающей в отрезок:
   • На левом конце отрезка, $$x = -0.5$$: $$y(-0.5) = (-0.5)^3 + (-0.5)^2 = -0.125 + 0.25 = 0.125$$.
   • В критической точке, $$x = 0$$: $$y(0) = (0)^3 + (0)^2 = 0$$.
   • На правом конце отрезка, $$x = 1$$: $$y(1) = (1)^3 + (1)^2 = 1 + 1 = 2$$.
5. Сравним полученные значения: $$0.125$$, $$0$$, $$2$$. Наименьшее значение равно $$0$$.

Ответ: 0