10. Найдите произведение корней уравнения log₃² x + (x - 2) log₃ x + 2x - 8 = 0

Решение:

Это уравнение не является стандартным квадратным относительно \( \log_3 x \) из-за члена \( (x-2)\log_3 x \) и \( 2x-8 \).

Это смешанное уравнение, которое, вероятно, решается подбором корней или разложением на множители.

Попробуем подобрать целые корни.

Заметим, что \( 2x - 8 = 2(x - 4) \). Это не сильно помогает.

Заметим, что \( (x - 2) \log_3 x = x \log_3 x - 2 \log_3 x \).

Попробуем переписать уравнение:

\( (\log_3 x)^2 + x \log_3 x - 2 \log_3 x + 2x - 8 = 0 \)

Это не похоже на стандартное разложение.

Давайте попробуем подставить простые значения \( x \), для которых \( \log_3 x \) является целым числом. Например, \( x = 1, 3, 9, 27, \frac{1}{3}, \frac{1}{9} \).

Если \( x = 1 \): \( (\log_3 1)^2 + (1-2)\log_3 1 + 2(1)-8 = 0^2 + (-1)(0) + 2 - 8 = -6 \neq 0 \).

Если \( x = 3 \): \( (\log_3 3)^2 + (3-2)\log_3 3 + 2(3)-8 = 1^2 + (1)(1) + 6 - 8 = 1 + 1 + 6 - 8 = 0 \). Значит, \( x = 3 \) является корнем.

Если \( x = 9 \): \( (\log_3 9)^2 + (9-2)\log_3 9 + 2(9)-8 = 2^2 + (7)(2) + 18 - 8 = 4 + 14 + 18 - 8 = 28 \neq 0 \).

Если \( x = \frac{1}{3} \): \( (\log_3 \frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3}-2)\log_3 \frac{1}{3} + 2(\frac{1}{3})-8 = (-1)^2 + (-\frac{5}{3})(-1) + \frac{2}{3} - 8 = 1 + \frac{5}{3} + \frac{2}{3} - 8 = 1 + \frac{7}{3} - 8 = 1 + 2.33 - 8 = -4.67 \neq 0 \).

Если \( x = \frac{1}{9} \): \( (\log_3 \frac{1}{9})^2 + (\frac{1}{9}-2)\log_3 \frac{1}{9} + 2(\frac{1}{9})-8 = (-2)^2 + (-\frac{17}{9})(-2) + \frac{2}{9} - 8 = 4 + \frac{34}{9} + \frac{2}{9} - 8 = 4 + \frac{36}{9} - 8 = 4 + 4 - 8 = 0 \). Значит, \( x = \frac{1}{9} \) является корнем.

У нас есть два корня: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = \frac{1}{9} \).

Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \).

Ответ: \( \frac{1}{3} \)