9. Найдите область определения функции y = log₂(6 + x − x²) + log_2−x 5

Решение:

Для нахождения области определения функции необходимо учесть условия для каждого логарифма.

1. Для \( y = \log_2(6 + x - x^2) \):

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

\( 6 + x - x^2 > 0 \)

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:

\( x^2 - x - 6 < 0 \)

Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)

Так как парабола \( x^2 - x - 6 \) ветвями вверх, неравенство \( x^2 - x - 6 < 0 \) выполняется при \( -2 < x < 3 \).

2. Для \( y = \log_{2-x} 5 \):

Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно 1:

а) \( 2 - x > 0 \) \(\Rightarrow \) \( x < 2 \)

б) \( 2 - x \neq 1 \) \(\Rightarrow \) \( x \neq 1 \)

Теперь объединим все условия:

\( -2 < x < 3 \)

\( x < 2 \)

\( x \neq 1 \)

Пересечение этих условий:

\( -2 < x < 2 \) и \( x \neq 1 \).

Это можно записать как объединение двух интервалов:

\( (-2; 1) \cup (1; 2) \).

Ответ: \( (-2; 1) \cup (1; 2) \)