8. Решите систему уравнений

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 3 \log_1 x - \log_5 y = -13 \\ 3 \log_5 y - 2 \log_2 x = -5 \end{cases} \)

Заметим, что в первом уравнении основание логарифма равно 1. Логарифм по основанию 1 не определен, так как \( 1^a = 1 \) для любого \( a \), и поэтому \( \log_1 x \) может быть любым числом, если \( x=1 \), и не существует, если \( x \neq 1 \). Поэтому, если \( x=1 \), то \( \log_1 x \) не имеет смысла. Если \( x \neq 1 \), то \( \log_1 x \) не определен.

Предположим, что в первом уравнении имелось в виду \( \log_2 x \) или \( \log_3 x \). Если исходить из второй строки \( 3\log_5 y - 2\log_2 x = -5 \), то наиболее логично предположить, что в первой строке \( 3\log_2 x \) вместо \( 3\log_1 x \).

Перепишем систему с предположением, что первое основание логарифма равно 2:

\( \begin{cases} 3 \log_2 x - \log_5 y = -13 \\ 3 \log_5 y - 2 \log_2 x = -5 \end{cases} \)

Введем замену переменных:

Пусть \( a = \log_2 x \) и \( b = \log_5 y \).

Система примет вид:

\( \begin{cases} 3a - b = -13 \\ -2a + 3b = -5 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3:

\( 9a - 3b = -39 \)

Сложим это уравнение со вторым уравнением системы:

\( (9a - 3b) + (-2a + 3b) = -39 + (-5) \)

\( 9a - 2a - 3b + 3b = -44 \)

\( 7a = -44 \)

\( a = -\frac{44}{7} \)

Теперь найдем \( b \), подставив значение \( a \) в первое уравнение \( 3a - b = -13 \):

\( 3 \left(-\frac{44}{7}\right) - b = -13 \)

\( -\frac{132}{7} - b = -13 \)

\( b = -\frac{132}{7} + 13 \)

\( b = -\frac{132}{7} + \frac{91}{7} \)

\( b = -\frac{41}{7} \)

Теперь вернемся к исходным переменным:

\( a = \log_2 x = -\frac{44}{7} \Rightarrow x = 2^{-\frac{44}{7}} \)

\( b = \log_5 y = -\frac{41}{7} \Rightarrow y = 5^{-\frac{41}{7}} \)

Проверим ОДЗ: \( x = 2^{-\frac{44}{7}} > 0 \) и \( y = 5^{-\frac{41}{7}} > 0 \). ОДЗ соблюдено.

Ответ: \( x = 2^{-\frac{44}{7}}, y = 5^{-\frac{41}{7}} \)