10. Найдите tg²a, если 5sin²a + 13cos²a = 6.

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]
2. Преобразуем данное уравнение: \[ 5\sin^2 a + 5\cos^2 a + 8\cos^2 a = 6 \]
3. Вынесем 5 за скобки: \[ 5(\sin^2 a + \cos^2 a) + 8\cos^2 a = 6 \]
4. Подставим единицу: \[ 5(1) + 8\cos^2 a = 6 \]
5. \[ 5 + 8\cos^2 a = 6 \]
6. \[ 8\cos^2 a = 1 \]
7. \[ \cos^2 a = \frac{1}{8} \]
8. Найдем \[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \]
9. Теперь найдем \[ \text{tg}^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}} = 7 \]

Ответ: 7