10. Найдите значение выражения: $$\frac{9^3 \cdot 81^2}{3^{12}}$$

Решение:

Представим числа \( 9 \) и \( 81 \) в виде степени числа \( 3 \).

• \( 9 = 3^2 \)
• \( 81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4 \)

Подставим эти значения в исходное выражение:

• \( \frac{(3^2)^3 \cdot (3^4)^2}{3^{12}} \)
• Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{mn} \):
• \( \frac{3^{2 \cdot 3} \cdot 3^{4 \cdot 2}}{3^{12}} = \frac{3^6 \cdot 3^8}{3^{12}} \)
• Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе:
• \( \frac{3^{6+8}}{3^{12}} = \frac{3^{14}}{3^{12}} \)
• Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
• \( 3^{14-12} = 3^2 \)
• Вычислим:
• \( 3^2 = 9 \)

Ответ: 9.