10. Найдите значение выражения log(2+√3) (1 / (7-4√3))

Решение:

Пусть \( A = log_{2+ √3} \frac{1}{7-4 √3} \).

Для начала упростим знаменатель \( 7-4 √3 \). Заметим, что \( (2- √3)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot √3 + ( √3)^2 = 4 - 4 √3 + 3 = 7 - 4 √3 \).

Значит, \( 7-4 √3 = (2- √3)^2 \).

Теперь упростим дробь \( \frac{1}{7-4 √3} \):

\( \frac{1}{7-4 √3} = \frac{1}{(2- √3)^2} \).

Также заметим, что \( 2+ √3 \) и \( 2- √3 \) являются сопряженными числами. Их произведение равно:

\( (2+ √3)(2- √3) = 2^2 - ( √3)^2 = 4 - 3 = 1 \).

Из этого следует, что \( 2- √3 = \frac{1}{2+ √3} \).

Подставим это обратно в выражение для дроби:

\( \frac{1}{(2- √3)^2} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2+ √3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{(2+ √3)^2}} = (2+ √3)^2 \).

Итак, нам нужно найти \( A = log_{2+ √3} (2+ √3)^2 \).

Используя свойство логарифма \( log_a a^b = b \), получаем:

\( A = 2 \).

Ответ: 2