10. Найдите значение выражения log(2+√3) (1 / (7-4√3))

Решение:

Пусть \( A =
log_{2+
√3} \frac{1}{7-4
√3} \).

Для начала упростим знаменатель \( 7-4
√3 \). Заметим, что \( (2-
√3)^2 = 2^2 - 2
\cdot 2
\cdot
√3 + (
√3)^2 = 4 - 4
√3 + 3 = 7 - 4
√3 \).

Значит, \( 7-4
√3 = (2-
√3)^2 \).

Теперь упростим дробь \( \frac{1}{7-4
√3} \):

\( \frac{1}{7-4
√3} = \frac{1}{(2-
√3)^2} \).

Также заметим, что \( 2+
√3 \) и \( 2-
√3 \) являются сопряженными числами. Их произведение равно:

\( (2+
√3)(2-
√3) = 2^2 - (
√3)^2 = 4 - 3 = 1 \).

Из этого следует, что \( 2-
√3 = \frac{1}{2+
√3} \).

Подставим это обратно в выражение для дроби:

\( \frac{1}{(2-
√3)^2} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2+
√3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{(2+
√3)^2}} = (2+
√3)^2 \).

Итак, нам нужно найти \( A =
log_{2+
√3} (2+
√3)^2 \).

Используя свойство логарифма \(
log_a a^b = b \), получаем:

\( A = 2 \).

Ответ: 2