7. Решите неравенство 7x^2 + 2x - 0,5 > 49√7

Решение:

Перепишем неравенство:

\( 7x^2 + 2x - 0.5 > 49
√7 \)

Это квадратное неравенство. Для его решения нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения \( 7x^2 + 2x - 0.5 - 49
√7 = 0 \).

Однако, представленное неравенство выглядит как попытка сравнения показательной функции, где основание 7 возведено в степень \( 2x + 2x - 0.5 \) и должно быть больше \( 49
√7 \), или же это другая форма записи.

Если предположить, что неравенство имеет вид \( 7^{2x^2 + 2x - 0.5} > 49
√7 \), то:

\( 49 = 7^2 \) и \(
√7 = 7^{\frac{1}{2}} \).

Тогда \( 49
√7 = 7^2
\cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{2 + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{5}{2}} \).

Неравенство примет вид:

\( 7^{2x^2 + 2x - 0.5} > 7^{\frac{5}{2}} \)

Так как основание степени \( 7 > 1 \), то показатели степеней сравниваются в том же направлении:

\( 2x^2 + 2x - 0.5 > \frac{5}{2} \)

\( 2x^2 + 2x - 0.5 > 2.5 \)

\( 2x^2 + 2x - 0.5 - 2.5 > 0 \)

\( 2x^2 + 2x - 3 > 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2 + 2x - 3 = 0 \):

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4
\cdot 2
\cdot (-3) = 4 + 24 = 28 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4
\cdot 7} = 2
√7 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 2
√7}{2
\cdot 2} = \frac{-2 + 2
√7}{4} = \frac{-1 +
√7}{2} \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 2
√7}{2
\cdot 2} = \frac{-2 - 2
√7}{4} = \frac{-1 -
√7}{2} \)

Так как парабола \( y = 2x^2 + 2x - 3 \) ветвями вверх, неравенство \( 2x^2 + 2x - 3 > 0 \) выполняется при \( x < x_2 \) или \( x > x_1 \).

\( x < \frac{-1 -
√7}{2} \) или \( x > \frac{-1 +
√7}{2} \).

Ответ: \( x < \frac{-1 -
√7}{2} \) или \( x > \frac{-1 +
√7}{2} \)