6. Найдите нули функции y = 25^x - 6 * 5^x + 5

Решение:

Чтобы найти нули функции, нужно приравнять функцию к нулю:

\( 25^x - 6
\cdot 5^x + 5 = 0 \)

Заметим, что \( 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 \).

Сделаем замену переменной: пусть \( t = 5^x \). Так как \( 5^x \) всегда больше нуля, то \( t > 0 \).

Уравнение примет вид:

\( t^2 - 6t + 5 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( t \). Решим его с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4
\cdot 1
\cdot 5 = 36 - 20 = 16 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \)

Найдем корни \( t \):

\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2
\cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2
\cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \)

Оба корня \( t_1 = 5 \) и \( t_2 = 1 \) удовлетворяют условию \( t > 0 \).

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \):

1) \( 5^x = t_1 = 5 \)

\( 5^x = 5^1 \)

\( x = 1 \)

2) \( 5^x = t_2 = 1 \)

\( 5^x = 5^0 \)

\( x = 0 \)

Ответ: x = 0, x = 1