10. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС, касается катетов АС и ВС соответственно в точках Е и Д. Найдите величину угла АВС (в градусах), если известно, что AE = 1, BD = 3,

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Пусть O - центр окружности, лежащий на гипотенузе AB.
2. Окружность касается AC в точке E и BC в точке D.
3. OE ⊥ AC, OD ⊥ BC. OE = OD = r (радиус окружности).
4. Так как ∠C = 90°, то CDOE - квадрат. Следовательно, CE = CD = r.
5. По условию AE = 1 и BD = 3.
6. AC = AE + EC = 1 + r.
7. BC = BD + DC = 3 + r.
8. AB - гипотенуза. По теореме Пифагора: $$ AB^2 = AC^2 + BC^2 = (1+r)^2 + (3+r)^2 $$.
9. $$ AB^2 = 1 + 2r + r^2 + 9 + 6r + r^2 = 2r^2 + 8r + 10 $$.
10. Центр окружности O лежит на гипотенузе AB.
11. Расстояние от O до AC равно r, и расстояние от O до BC равно r.
12. Пусть ∠ABC = β.
13. В прямоугольном треугольнике ABC: $$ \tan(\beta) = \frac{AC}{BC} = \frac{1+r}{3+r} $$.
14. $$ \sin(\beta) = \frac{AC}{AB} = \frac{1+r}{AB} $$.
15. $$ \cos(\beta) = \frac{BC}{AB} = \frac{3+r}{AB} $$.
16. Рассмотрим треугольник ODB. OD = BD = r. Треугольник ODB - прямоугольный (∠ODB = 90°).
17. $$ \tan(\angle OBD) = \frac{OD}{BD} = \frac{r}{3} $$.
18. Угол ∠OBD = ∠ABC = β.
19. Значит, $$ \tan(\beta) = \frac{r}{3} $$.
20. Приравниваем два выражения для $$ \tan(\beta) $$:
21. $$ \frac{1+r}{3+r} = \frac{r}{3} $$.
22. $$ 3(1+r) = r(3+r) $$.
23. $$ 3 + 3r = 3r + r^2 $$.
24. $$ 3 = r^2 $$.
25. $$ r = \sqrt{3} $$.
26. Теперь найдем $$ \tan(\beta) = \frac{r}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$.
27. Угол, тангенс которого равен $$ \frac{\sqrt{3}}{3} $$, равен 30°.
28. Значит, ∠ABC = 30°.

Ответ: Угол АВС равен 30 градусам.