7. В треугольнике ВСЕ ∠C = 60°, CE: BC = 3 : 1. Отрезок СК — биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника окружности равен 8√3.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. По теореме синусов для треугольника BCE: $$ \frac{CE}{\sin(\angle CBE)} = \frac{BC}{\sin(\angle CEB)} = \frac{BE}{\sin(\angle BCE)} = 2R $$, где R - радиус описанной окружности.
2. Дано R = 8√3.
3. Дано ∠C = 60°.
4. Дано CE : BC = 3 : 1. Пусть BC = x, тогда CE = 3x.
5. По теореме синусов: $$ \frac{CE}{\sin(\angle CBE)} = 2R \Rightarrow \frac{3x}{\sin(\angle CBE)} = 2 \cdot 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3} $$.
6. $$ \frac{BC}{\sin(\angle CEB)} = 2R \Rightarrow \frac{x}{\sin(\angle CEB)} = 16\sqrt{3} \Rightarrow \sin(\angle CEB) = \frac{x}{16\sqrt{3}} $$.
7. В треугольнике BCE: ∠CBE + ∠CEB + ∠BCE = 180°.
8. ∠CBE + ∠CEB + 60° = 180°, следовательно, ∠CBE + ∠CEB = 120°.
9. Из $$ \sin(\angle CEB) = \frac{x}{16\sqrt{3}} $$.
10. Рассмотрим второй случай: $$ \frac{CE}{\sin(\angle CBE)} = 2R \Rightarrow \sin(\angle CBE) = \frac{CE}{2R} = \frac{3x}{16\sqrt{3}} $$.
11. $$ \frac{BC}{\sin(\angle CEB)} = 2R \Rightarrow \sin(\angle CEB) = \frac{BC}{2R} = \frac{x}{16\sqrt{3}} $$.
12. Заметим, что ∠CEB = 180° - ∠CBE - ∠BCE = 180° - ∠CBE - 60° = 120° - ∠CBE.
13. $$ \sin(120° - \angle CBE) = \frac{x}{16\sqrt{3}} $$.
14. $$ \sin(120°)\cos(\angle CBE) - \cos(120°)\sin(\angle CBE) = \frac{x}{16\sqrt{3}} $$.
15. $$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\angle CBE) - (-\frac{1}{2})\sin(\angle CBE) = \frac{x}{16\sqrt{3}} $$.
16. $$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\angle CBE) + \frac{1}{2}\sin(\angle CBE) = \frac{x}{16\sqrt{3}} $$.
17. Подставим $$ \sin(\angle CBE) = \frac{3x}{16\sqrt{3}} $$:
18. $$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\angle CBE) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3x}{16\sqrt{3}} = \frac{x}{16\sqrt{3}} $$.
19. $$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\angle CBE) + \frac{3x}{32\sqrt{3}} = \frac{x}{16\sqrt{3}} $$.
20. $$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\angle CBE) = \frac{x}{16\sqrt{3}} - \frac{3x}{32\sqrt{3}} = \frac{2x - 3x}{32\sqrt{3}} = \frac{-x}{32\sqrt{3}} $$.
21. $$ \cos(\angle CBE) = \frac{-x}{32\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{-2x}{32 \cdot 3} = \frac{-x}{48} $$.
22. Так как cos(∠CBE) отрицательный, ∠CBE - тупой угол.
23. $$ \sin^2(\angle CBE) + \cos^2(\angle CBE) = 1 $$.
24. $$ (\frac{3x}{16\sqrt{3}})^2 + (\frac{-x}{48})^2 = 1 $$.
25. $$ \frac{9x^2}{256 \cdot 3} + \frac{x^2}{48^2} = 1 $$.
26. $$ \frac{9x^2}{768} + \frac{x^2}{2304} = 1 $$.
27. $$ \frac{27x^2 + x^2}{2304} = 1 \Rightarrow \frac{28x^2}{2304} = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{2304}{28} = \frac{576}{7} $$.
28. $$ x = \sqrt{\frac{576}{7}} = \frac{24}{\sqrt{7}} = \frac{24\sqrt{7}}{7} $$.
29. BC = x = $$ \frac{24\sqrt{7}}{7} $$.
30. CE = 3x = $$ \frac{72\sqrt{7}}{7} $$.
31. Теперь найдем BE. $$ \cos(\angle CBE) = \frac{-x}{48} = \frac{-24\sqrt{7}/7}{48} = \frac{-\sqrt{7}}{14} $$.
32. $$ \sin(\angle CBE) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle CBE)} = \sqrt{1 - (\frac{-\sqrt{7}}{14})^2} = \sqrt{1 - \frac{7}{196}} = \sqrt{\frac{189}{196}} = \frac{\sqrt{189}}{14} = \frac{3\sqrt{21}}{14} $$.
33. По теореме синусов для BE: $$ \frac{BE}{\sin(\angle BCE)} = 2R \Rightarrow BE = 2R \sin(\angle BCE) = 16\sqrt{3} \cdot \sin(60°) = 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24 $$.
34. СК - биссектриса. По свойству биссектрисы: $$ \frac{KE}{EC} = \frac{BK}{BC} $$.
35. $$ KE + EC = BC $$.
36. $$ \frac{KE}{EC} = \frac{BK}{BC} \Rightarrow KE \cdot BC = EC \cdot BK $$.
37. $$ BK = BC - KE $$.
38. $$ KE \cdot BC = EC \cdot (BC - KE) $$.
39. $$ KE \cdot BC = EC \cdot BC - EC \cdot KE $$.
40. $$ KE \cdot BC + EC \cdot KE = EC \cdot BC $$.
41. $$ KE(BC + EC) = EC \cdot BC $$.
42. $$ KE = \frac{EC \cdot BC}{BC + EC} $$.
43. Подставляем значения: $$ EC = 3x = \frac{72\sqrt{7}}{7} $$, $$ BC = x = \frac{24\sqrt{7}}{7} $$.
44. $$ KE = \frac{\frac{72\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{24\sqrt{7}}{7}}{\frac{24\sqrt{7}}{7} + \frac{72\sqrt{7}}{7}} = \frac{\frac{72 \cdot 24 \cdot 7}{49}}{\frac{96\sqrt{7}}{7}} = \frac{\frac{72 \cdot 24}{7}}{\frac{96\sqrt{7}}{7}} = \frac{72 \cdot 24}{96\sqrt{7}} = \frac{72 \cdot 1}{4\sqrt{7}} = \frac{18}{\sqrt{7}} = \frac{18\sqrt{7}}{7} $$.

Ответ: KE = 18√7 / 7.