10. Определите число точек пересечения графиков функций y = |x| и y = x + a в зависимости от значений числа а.

Решение:

Чтобы определить число точек пересечения графиков функций \( y = |x| \) и \( y = x + a \), нужно найти количество решений системы уравнений:

\[ \begin{cases} y = |x| \\ y = x + a \end{cases} \]

Приравниваем правые части:

\[ |x| = x + a \]

Рассмотрим два случая для \( |x| \):

Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \).

\[ x = x + a \]

\[ 0 = a \]

Если \( a = 0 \), то это уравнение верно для любого \( x \ge 0 \). Это означает, что график \( y = x \) (часть \( y = |x| \) при \( x > 0 \)) совпадает с прямой \( y = x + 0 \) (то есть \( y = x \)). Таким образом, при \( a = 0 \) у нас есть пересечение на луче \( x \ge 0 \) (точнее, совпадение лучей).

Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \).

\[ -x = x + a \]

\[ -2x = a \]

\[ x = -\frac{a}{2} \]

Это решение подходит, если \( x < 0 \), то есть \( -\frac{a}{2} < 0 \), что равносильно \( a > 0 \).

Теперь проанализируем количество решений в зависимости от \( a \):

1. Если \( a < 0 \):

• В Случае 1 (\( x \ge 0 \)), получаем \( 0 = a \), что неверно при \( a < 0 \). Нет решений.
• В Случае 2 (\( x < 0 \)), получаем \( x = -\frac{a}{2} \). Так как \( a < 0 \), то \( -a > 0 \), и \( x = -\frac{a}{2} > 0 \). Но мы рассматривали случай \( x < 0 \). Полученное значение \( x \) не удовлетворяет условию \( x < 0 \).

Таким образом, при \( a < 0 \) решений нет (0 точек пересечения).

2. Если \( a = 0 \):

• В Случае 1 (\( x \ge 0 \)), получаем \( 0 = 0 \). Это верно для всех \( x \ge 0 \). Графики \( y = x \) для \( x > 0 \) и \( y = x + 0 \) совпадают.
• В Случае 2 (\( x < 0 \)), получаем \( x = -\frac{0}{2} = 0 \). Но мы рассматривали случай \( x < 0 \), поэтому \( x = 0 \) не подходит.

При \( a = 0 \) графики \( y = |x| \) и \( y = x \) совпадают для \( x > 0 \) и имеют одну точку пересечения (начало координат) для \( x = 0 \). Однако, строго говоря, здесь совпадение лучей. Обычно под точками пересечения понимают дискретные точки. Если считать совпадение луча как бесконечное число точек, то это один вариант. Если считать дискретные точки, то при \( a=0 \) мы имеем две ветви \( y=|x| \) и \( y=x \). Ветвь \( y=x \) для \( x > 0 \) совпадает с \( y=x \). Ветвь \( y=-x \) для \( x<0 \) пересекает \( y=x \) в точке \( x=0 \), но это не входит в область \( x<0 \). Поэтому, если \( a=0 \), то рассматриваем \( y=|x| \) и \( y=x \). Они совпадают для \( x > 0 \). Точка \( (0,0) \) является общей. Точка \( (-6,6) \) из предыдущего примера не получается. Для \( a=0 \), \( x = -a/2 = 0 \). \( y=|0|=0 \). \( y=0+0=0 \). Точка (0,0). И \( x=0 \) при \( x > 0 \). Итого 1 точка (0,0) + совпадение луча. Обычно считают 1 точку. Но для полной картины, если \( a=0 \), то \( y=x \) и \( y=|x| \). Они совпадают для \( x > 0 \). \( y=-x \) пересекает \( y=x \) только в \( x=0 \). Поэтому точка \( (0,0) \) - единственная дискретная точка пересечения.

3. Если \( a > 0 \):

• В Случае 1 (\( x \ge 0 \)), получаем \( 0 = a \), что неверно при \( a > 0 \). Нет решений.
• В Случае 2 (\( x < 0 \)), получаем \( x = -\frac{a}{2} \). Так как \( a > 0 \), то \( -a < 0 \), и \( x = -\frac{a}{2} < 0 \). Это значение \( x \) удовлетворяет условию \( x < 0 \).

Таким образом, при \( a > 0 \) существует одно решение \( x = -\frac{a}{2} \) (1 точка пересечения).

Итог:

• При \( a < 0 \) — 0 точек пересечения.
• При \( a = 0 \) — 1 точка пересечения (0; 0).
• При \( a > 0 \) — 1 точка пересечения.

Ответ: 0 точек пересечения при a < 0; 1 точка пересечения при a ≥ 0.