9. Сравните значения функции y = √x при x = 1/(√3+2)² и x = 7-4√3.

Решение:

Нам нужно сравнить \( \sqrt{x_1} \) и \( \sqrt{x_2} \), где \( x_1 = \frac{1}{(\sqrt{3}+2)^2} \) и \( x_2 = 7-4\sqrt{3} \).

Функция \( y = \sqrt{x} \) возрастает, поэтому большее значение \( x \) даст большее значение \( y \).

1. Упростим \( x_1 \):

\[ x_1 = \frac{1}{(\sqrt{3}+2)^2} \]

Развернём квадрат в знаменателе:

\[ (\sqrt{3}+2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3} \]

Тогда \( x_1 = \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} \).

Чтобы сравнить \( x_1 \) и \( x_2 \), умножим числитель и знаменатель \( x_1 \) на сопряжённое выражение знаменателя:

\[ x_1 = \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \frac{7 - 4\sqrt{3}}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{49 - (16 \cdot 3)} = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{49 - 48} = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{1} = 7 - 4\sqrt{3} \]

2. Сравним \( x_1 \) и \( x_2 \):

Мы получили, что \( x_1 = 7 - 4\sqrt{3} \) и \( x_2 = 7 - 4\sqrt{3} \).

Значит, \( x_1 = x_2 \).

Следовательно, значения функции \( y = \sqrt{x} \) при этих значениях \( x \) будут равны:

\( \sqrt{x_1} = \sqrt{x_2} \)

Ответ: Значения функции равны.