10. Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник АВС (∠C = 90°), у которого АС = 3√2 и ∠A = 30°. Диагональ В₁С боковой грани составляет с плоскостью АА₁В₁В угол 30°. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Найдем катеты и гипотенузу основания:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) имеем \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AC = 3\sqrt{2} \), \( \angle A = 30^{\circ} \).

Найдем \( BC \) через тангенс \( \angle A \):

\[ \tan A = \frac{BC}{AC} \]\[ \tan 30^{\circ} = \frac{BC}{3\sqrt{2}} \]\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{3\sqrt{2}} \]\[ BC = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6} \) см.

Найдем гипотенузу \( AB \) через косинус \( \angle A \):

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]\[ \cos 30^{\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{AB} \]\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{AB} \]\[ AB = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6} \) см.

2. Найдем высоту призмы:

Рассмотрим диагональ \( B_1C \) боковой грани \( BCC_1B_1 \). Эта грань является прямоугольником.

Плоскость \( AA_1B_1B \) — это плоскость боковой грани \( ABB_1A_1 \).

Угол между прямой \( B_1C \) и плоскостью \( AA_1B_1B \) равен углу между прямой \( B_1C \) и её проекцией на эту плоскость. Проекцией \( B_1C \) на плоскость \( AA_1B_1B \) является прямая \( B_1B \) (так как \( BC \) перпендикулярна \( BB_1 \) и \( CC_1 \) перпендикулярна \( B_1C \) и \( B_1B \) перпендикулярна \( BC \) ).

Угол между \( B_1C \) и плоскостью \( ABB_1A_1 \) — это угол \( \angle CB_1B \).

Дано, что этот угол равен \( 30^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CB_1B \) (так как \( CC_1 \) перпендикулярна плоскости основания, то \( CB_1 \) перпендикулярна \( BB_1 \)).

В \( \triangle CB_1B \): \( ∠ CBB_1 = 90^{\circ} \). Угол \( ∠ CB_1B = 30^{\circ} \).

Найдем высоту призмы \( BB_1 \) (обозначим её \( h \)):

\[ \tan(CB_1B) = \frac{BC}{BB_1} \]\[ \tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{6}}{h} \]\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{h} \]\[ h = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) см.

3. Найдем объем призмы:

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\[ V = S_{осн} \cdot h \]\[ S_{осн} = \(\frac{1}{2}\) AC \(\cdot\) BC = \(\frac{1}{2}\) \(3\sqrt{2}\) \(\sqrt{6}\) = \(\frac{3}{2}\) \(\sqrt{12}\) = \(\frac{3}{2}\) \(\cdot\) 2\(\sqrt{3}\) = 3\(\sqrt{3}\) \) см².

\[ V = 3\(\sqrt{3}\) \(\cdot\) 3\(\sqrt{2}\) = 9\(\sqrt{6}\) \) см³.

Ответ: \( 9\sqrt{6} \) см³.