7. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2√3 см, а боковая грань образует с основанием пирамиды угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Пусть \( H \) — высота пирамиды, \( h \) — апофема (высота боковой грани), \( a \) — сторона основания, \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности.

Дано: \( H = 2\sqrt{3} \) см, угол между боковой гранью и основанием \( \alpha = 60^\circ \).

В правильной треугольной пирамиде апофема \( h \), высота пирамиды \( H \) и отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны основания (радиус вписанной окружности \( r \)), образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковой гранью и основанием — это угол между апофемой и радиусом вписанной окружности.

\( \tan \alpha = \frac{H}{r} \)

\( \tan 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{r} \)

\( \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{r} \)

\( r = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \) см.

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник связан со стороной \( a \) соотношением \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).

\( 2 = \frac{a}{2\sqrt{3}} \)

\( a = 4\sqrt{3} \) см.

Теперь найдем апофему \( h \) по теореме Пифагора в треугольнике \( HOr \):

\( h^2 = H^2 + r^2 \)

\( h^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 \)

\( h^2 = 12 + 4 = 16 \)

\( h = 4 \) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h \)

Периметр основания \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} 4 = 6\sqrt{3} 4 = 24\sqrt{3} \) см².

Ответ: \( 24\sqrt{3} \) см².