10. («Покори Воробьёвы горы!», 2016, 5–6, № 2; 7–9, № 1) Найдите наименьшее натуральное N такое, что N + 2 делится (без остатка) на 2, N + 3 — на 3, …, N + 10 — на 10.

Для каждого k от 2 до 10 условие означает, что N + k делится на k. Так как k делится на k, из этого следует, что N тоже делится на k.

Значит, N должно делиться на все числа от 2 до 10. Наименьшее такое натуральное число — их наименьшее общее кратное:

НОК(2, 3, …, 10) = 2³ · 3² · 5 · 7 = 2520.

Поскольку 2520 делится на каждое k от 2 до 10, число 2520 + k также делится на k. Условие выполнено, а меньшего общего кратного нет.

Ответ: N = 2520.