7. Числа называются взаимно простыми, если их НОД равен единице (иными словами, если у них нет общих делителей, отличных от единицы). Покажите, что числа 175 и 198 являются взаимно простыми. Придумайте три пары взаимно простых чисел и найдите их НОК. Вообще, чему равно НОК(a, b) для взаимно простых чисел a и b? Почему?

Найдём НОД чисел 175 и 198 по алгоритму Евклида:

198 − 175 = 23;
175 = 23 · 7 + 14;
23 = 14 + 9;
14 = 9 + 5;
9 = 5 + 4;
5 = 4 + 1.

Последний ненулевой остаток равен 1, значит, НОД(175, 198) = 1. Следовательно, числа взаимно просты.

Три примера пар взаимно простых чисел и их НОК:

1. НОД(8, 15) = 1, поэтому НОК(8, 15) = 8 · 15 = 120.
2. НОД(9, 14) = 1, поэтому НОК(9, 14) = 9 · 14 = 126.
3. НОД(11, 20) = 1, поэтому НОК(11, 20) = 11 · 20 = 220.

Для любых натуральных a и b выполняется равенство НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b. Если НОД(a, b) = 1, то отсюда НОК(a, b) = a · b.

Ответ: для взаимно простых чисел НОК(a, b) = a · b.