10. Постройте график функции y = (3x + 5)/(3x² + 5x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\), \(x\ne-\frac53\). Сократим дробь, сохранив ограничения:

\[y=\frac{3x+5}{x(3x+5)}=\frac1x.\]

График — гипербола \(y=1/x\) без точки \((-\frac53; -\frac35)\). Для пересечения с \(y=kx\) решаем:

\[\frac1x=kx\quad\Longrightarrow\quad kx^2=1.\]

При \(k>0\) уравнение имеет две противоположные ненулевые корня, кроме случая, когда один из них исключён из области определения. Исключённое значение \(x=-\frac53\) удовлетворяет уравнению при \(k=\frac9{25}\); тогда второй корень остаётся допустимым и пересечение ровно одно. При остальных k пересечений не ровно одно.

Ответ: \(k=\frac9{25}\).

График для построения: гипербола \(y=1/x\) с асимптотами координатными осями и выколотой точкой \((-\frac53; -\frac35)\).