12. Постройте график функции y = (x − 2)/(2x − x²) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\), \(x\ne2\). Преобразуем функцию:

\[y=\frac{x-2}{x(2-x)}=-\frac1x.\]

График — гипербола \(y=-1/x\) без точки \((2; -\frac12)\). Для пересечения с прямой \(y=kx\):

\[-\frac1x=kx\quad\Longrightarrow\quad kx^2=-1.\]

При \(k<0\) существуют два противоположных корня. Чтобы осталось ровно одно пересечение, один из них должен быть исключён: это \(x=2\), что даёт \(k=-\frac1{2^2}=-\frac14\). При \(k\ge0\) действительных корней нет.

Ответ: \(k=-\frac14\).

График для построения: гипербола \(y=-1/x\) с асимптотами координатными осями и выколотой точкой \((2; -\frac12)\).