10. Постройте график функции \(y=x^2+11|x-4|+30\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком три общие точки.

Раскроем модуль по определению:

При \(x<4\): \(y=x^2-11x+74\). Его вершина имеет абсциссу \(11/2>4\), поэтому на этой части график строго убывает и значения больше 74.

При \(x\ge4\): \(y=x^2+11x-14\). Эта часть строго возрастает и принимает значения от 74 и выше. В точке стыка \((4;74)\) обе формулы совпадают.

Горизонтальная прямая ниже минимума не пересекает график, на уровне минимума имеет с ним одну общую точку, выше минимума — две. Трёх общих точек не бывает.

Ответ: таких значений \(m\) нет.