10. Решить систему уравнений: { log₄x - log₄y = 1, x - 3y = 16. }

Решение:

Дана система логарифмических уравнений.

1. Преобразуем первое уравнение: Используем свойство логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).
• \( \log_4 \frac{x}{y} = 1 \).
• По определению логарифма \( a^c = b \), получаем \( 4^1 = \frac{x}{y} \), то есть \( 4 = \frac{x}{y} \).
• Выразим \( x \) через \( y \): \( x = 4y \).
2. Подставим выражение для \( x \) во второе уравнение системы:
• \( (4y) - 3y = 16 \).
• Упростим: \( y = 16 \).
3. Найдем \( x \), подставив значение \( y \) в выражение \( x = 4y \):
• \( x = 4 · 16 \).
• \( x = 64 \).
4. Проверим ОДЗ: Логарифмы определены для положительных чисел, поэтому \( x > 0 \) и \( y > 0 \). Найдённые значения \( x=64 \) и \( y=16 \) удовлетворяют этим условиям.

Ответ: x = 64, y = 16.