8. Решить уравнение: 2²ˣ – 6·2ˣ + 8 = 0

Решение:

Это показательное уравнение. Введем замену переменной, чтобы свести его к квадратному.

1. Пусть \( t = 2^x \). Тогда \( 2^{2x} = (2^x)^2 = t^2 \).
2. Подставим \( t \) в уравнение: \( t^2 - 6t + 8 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта:
• \( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 · 1 · 8 = 36 - 32 = 4 \).
• \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 2}{2 · 1} = \frac{8}{2} = 4 \).
• \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 2}{2 · 1} = \frac{4}{2} = 2 \).
4. Теперь вернемся к замене \( t = 2^x \) и решим два уравнения:
• \( 2^x = 4 \). Так как \( 4 = 2^2 \), то \( 2^x = 2^2 \), следовательно, \( x = 2 \).
• \( 2^x = 2 \). Так как \( 2 = 2^1 \), то \( 2^x = 2^1 \), следовательно, \( x = 1 \).

Ответ: x = 1, x = 2.