9. Найти область определения функции: √(2x²-5x-3) / (9-x²)

Решение:

Область определения функции определяется условиями, при которых выражение под корнем неотрицательно и знаменатель не равен нулю.

1. Условие неотрицательности подкоренного выражения: \( 2x^2 - 5x - 3 \ge 0 \).
• Найдем корни квадратного трехчлена \( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта:
• \( D = (-5)^2 - 4 · 2 · (-3) = 25 + 24 = 49 \).
• \( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 · 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 \).
• \( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 · 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \).
• Так как парабола \( y = 2x^2 - 5x - 3 \) ветвями направлена вверх, неравенство \( 2x^2 - 5x - 3 \ge 0 \) выполняется при \( x \le -0.5 \) или \( x \ge 3 \).
2. Условие неотрицательности знаменателя: \( 9 - x^2
   e 0 \).
• \( x^2
  e 9 \).
• \( x
  e 3 \) и \( x
  e -3 \).
3. Объединим условия:
• Из первого условия имеем \( x \in (-\infty; -0.5] \cup [3; \infty) \).
• Из второго условия исключаем \( x=3 \) и \( x=-3 \).
• Учитывая \( x \le -0.5 \), исключаем \( x=-3 \).
• Учитывая \( x \ge 3 \), исключаем \( x=3 \).
• Таким образом, область определения: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -0.5] \cup (3; \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -0.5] \cup (3; \infty) \).