10. Решите неравенство $\dfrac{x^4-x^2-12}{x^3+1}>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10. Решите неравенство $\dfrac{x^4-x^2-12}{x^3+1}>0$.$ Фото задания

10. Решите неравенство $\dfrac{x^4-x^2-12}{x^3+1}>0$.

Accepted Answer

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^4-x^2-12=(x^2-4)(x^2+3)=(x-2)(x+2)(x^2+3)$,

$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$.

Множители $x^2+3$ и $x^2-x+1$ положительны при всех действительных $x$, поскольку их дискриминанты отрицательны, а старшие коэффициенты положительны. Область определения: $x\ne-1$. Знак дроби определяется выражением $\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}$. По критическим точкам $-2$, $-1$, $2$ оно положительно на $(-2,-1)$ и $(2,+\u001e)$. Концы не включаются: при $-2$ и $2$ дробь равна нулю, а при $-1$ не определена.

Ответ: $(-2,-1)\cup(2,+\u001e)$.

10. Решите неравенство \(\dfrac{x^4-x^2-12}{x^3+1}>0\).

Ответ: