10. Решите уравнение: \( \sin 2x + \sqrt{3} \sin x = 0 \).

Решение:

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).

Подставим в уравнение:

\( 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \sin x = 0 \)

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\( \sin x (2 \cos x + \sqrt{3}) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: \( \sin x = 0 \)

\( x = \pi k \), где \( k \) — целое число.

Случай 2: \( 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \)

\( 2 \cos x = -\sqrt{3} \)

\( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \pi k \) или \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.