11. Исследуйте функцию и постройте ее график: \( y = -x^3 + 6x^2 - 5 \).

Исследование функции \( y = -x^3 + 6x^2 - 5 \):

1. Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел: \( D(y) = (-\infty, +\infty) \).

2. Четность/нечетность:

\( y(-x) = -(-x)^3 + 6(-x)^2 - 5 = x^3 + 6x^2 - 5 \). \( y(-x) \neq y(x) \) и \( y(-x) \neq -y(x) \). Функция ни четная, ни нечетная.

3. Точки пересечения с осями координат:

С осью Oy (x=0):

\( y(0) = -(0)^3 + 6(0)^2 - 5 = -5 \). Точка: \( (0, -5) \).

С осью Ox (y=0):

\( -x^3 + 6x^2 - 5 = 0 \). Это кубическое уравнение, найти корни аналитически сложно. Приблизительно корни находятся между -1 и 0, между 1 и 2, и между 5 и 6. Точные корни без дополнительных методов найти затруднительно.

4. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума:

Найдем первую производную:

\( y' = -3x^2 + 12x \)

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\( -3x^2 + 12x = 0 \)

\( -3x(x - 4) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 4 \).

Определим знаки производной на интервалах:

• На \( (-\infty, 0) \): \( y'(-1) = -3(-1)^2 + 12(-1) = -3 - 12 = -15 < 0 \) (убывает).
• На \( (0, 4) \): \( y'(1) = -3(1)^2 + 12(1) = -3 + 12 = 9 > 0 \) (возрастает).
• На \( (4, +\infty) \): \( y'(5) = -3(5)^2 + 12(5) = -75 + 60 = -15 < 0 \) (убывает).

Вывод:

• Функция убывает на \( (-\infty, 0] \) и \( [4, +\infty) \).
• Функция возрастает на \( [0, 4] \).
• В точке \( x = 0 \) — минимум.
• В точке \( x = 4 \) — максимум.

5. Значения функции в точках экстремума:

Минимум в \( x = 0 \):

\( y(0) = -5 \). Точка минимума: \( (0, -5) \).

Максимум в \( x = 4 \):

\( y(4) = -(4)^3 + 6(4)^2 - 5 = -64 + 6(16) - 5 = -64 + 96 - 5 = 32 - 5 = 27 \). Точка максимума: \( (4, 27) \).

6. Выпуклость и точки перегиба:

Найдем вторую производную:

\( y'' = -6x + 12 \)

Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:

\( -6x + 12 = 0 \)

\( -6x = -12 \)

\( x = 2 \).

Определим знаки второй производной на интервалах:

• На \( (-\infty, 2) \): \( y''(0) = -6(0) + 12 = 12 > 0 \) (выпуклая вверх, вогнутая).
• На \( (2, +\infty) \): \( y''(3) = -6(3) + 12 = -18 + 12 = -6 < 0 \) (выпуклая вниз, выпуклая).

Точка перегиба: \( x = 2 \).

Найдем значение функции в точке перегиба:

\( y(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 - 5 = -8 + 6(4) - 5 = -8 + 24 - 5 = 16 - 5 = 11 \). Точка перегиба: \( (2, 11) \).

7. Построение графика:

Отметим найденные точки: \( (0, -5) \) (пересечение с Oy, минимум), \( (4, 27) \) (максимум), \( (2, 11) \) (точка перегиба).

Учтем промежутки возрастания/убывания и выпуклости.

Ответ: График построен. Ключевые точки: минимум \( (0, -5) \), максимум \( (4, 27) \), точка перегиба \( (2, 11) \). Функция убывает на \( (-\infty, 0] \) и \( [4, +\infty) \), возрастает на \( [0, 4] \). График выпуклый вниз на \( (-\infty, 2) \) и выпуклый вверх на \( (2, +\infty) \).