9. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 8см. Найдите объем этого цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, который получается при сечении цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. В данном случае, осевое сечение — квадрат. Стороны этого квадрата равны высоте цилиндра \( H \) и диаметру основания \( D \).

Так как осевое сечение — квадрат, то \( H = D \).

Диагональ квадрата равна 8 см. По теореме Пифагора для квадрата:

\( D^2 + H^2 = (\text{диагональ})^2 \)

Так как \( D = H \), то:

\( D^2 + D^2 = 8^2 \)

\( 2D^2 = 64 \)

\( D^2 = 32 \)

\( D = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \) см.

Значит, \( H = 4\sqrt{2} \) см.

Радиус основания цилиндра \( R = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

\( V = \pi R^2 H \)

\( V = \pi (2\sqrt{2})^2 \cdot 4\sqrt{2} \)

\( V = \pi (4 \cdot 2) \cdot 4\sqrt{2} \)

\( V = \pi \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} \)

\( V = 32\sqrt{2} \pi \text{ см}^3 \)

Ответ: \( 32\sqrt{2} \pi \text{ см}^3 \).