№ 10. Решите уравнения, используя понятие расстояния между двумя точками на координатной прямой: а) |x| = 3; б) |x − 7| = 4; в) |x − 4| = 3; г) |x + 4| = 7; д) |x| = −2; е) |x| + 1 = 4.

Модуль разности координат — расстояние между точками. Поэтому уравнение вида |x − a| = r при r > 0 имеет решения x = a − r и x = a + r. Модуль не может быть отрицательным.

1. а) |x| = 3: расстояние от x до 0 равно 3, значит x = −3 или x = 3.
2. б) |x − 7| = 4: x = 7 − 4 = 3 или x = 7 + 4 = 11.
3. в) |x − 4| = 3: x = 4 − 3 = 1 или x = 4 + 3 = 7.
4. г) |x + 4| = 7, то есть |x − (−4)| = 7: x = −4 − 7 = −11 или x = −4 + 7 = 3.
5. д) |x| = −2: решений нет, так как |x| ≥ 0.
6. е) |x| + 1 = 4, поэтому |x| = 3; x = −3 или x = 3.

Ответ: а) −3, 3; б) 3, 11; в) 1, 7; г) −11, 3; д) решений нет; е) −3, 3.