№ 11. Покажите на координатной прямой множество решений неравенства: а) |x| ≤ 3; б) |x| > 4; в) |x + 3| ≤ 1; г) |x − 4| ≥ 2.

Модуль выражения задаёт расстояние. Границы включены при знаках ≤ и ≥; при строгом неравенстве границы не включаются.

1. а) |x| ≤ 3: −3 ≤ x ≤ 3, то есть [−3; 3].
2. б) |x| > 4: x < −4 или x > 4, то есть (−∞; −4) ∪ (4; +∞).
3. в) |x + 3| ≤ 1: −1 ≤ x + 3 ≤ 1; вычитаем 3: −4 ≤ x ≤ −2, то есть [−4; −2].
4. г) |x − 4| ≥ 2: x ≤ 2 или x ≥ 6, то есть (−∞; 2] ∪ [6; +∞).

На рисунках закрашенный кружок означает включённую границу, незакрашенный — исключённую.

Ответ: а) [−3; 3]; б) (−∞; −4) ∪ (4; +∞); в) [−4; −2]; г) (−∞; 2] ∪ [6; +∞).