10. Рис. 835. CH = 8, AC = 8\(\sqrt{5}\), CB = 4\(\sqrt{5}\).

Решение:

На рисунке 835 изображен прямоугольный треугольник ABC, где CH — высота, проведенная к гипотенузе AB. По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: \( CH^2 = AH \cdot HB \). Также, квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок гипотенузы: \( AC^2 = AH \cdot AB \) и \( BC^2 = HB \cdot AB \).

Из условия задачи: CH = 8, AC = 8\(\sqrt{5}\), CB = 4\(\sqrt{5}\).

Проверим, является ли треугольник ABC прямоугольным. По теореме Пифагора, \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \) (если \( \angle C = 90^{\circ} \)). Но CH — высота, значит, \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Из \( AC^2 = AH \cdot AB \) и \( BC^2 = HB \cdot AB \). И \( AB = AH + HB \).

Из \( CH^2 = AH \cdot HB \).

Используем данные: \( AC^2 = (8\sqrt{5})^2 = 64 \cdot 5 = 320 \). \( BC^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80 \). \( CH^2 = 8^2 = 64 \).

Имеем систему уравнений:

1. \( AH \cdot AB = 320 \)
2. \( HB \cdot AB = 80 \)
3. \( AH + HB = AB \)
4. \( AH \cdot HB = 64 \)

Из (1) и (2): \( AH = 320/AB \), \( HB = 80/AB \). Подставим в (3): \( 320/AB + 80/AB = AB \Rightarrow 400/AB = AB \Rightarrow AB^2 = 400 \Rightarrow AB = 20 \).

Теперь найдем AH и HB: \( AH = 320/20 = 16 \). \( HB = 80/20 = 4 \).

Проверим (4): \( AH \cdot HB = 16 \cdot 4 = 64 \). Это совпадает с \( CH^2 = 64 \).

Таким образом, данные в задаче согласуются. Утверждение подразумевает, что рисунок 835 изображает такой треугольник, и эти равенства верны.

Ответ: Верно.