10. [Школьный этап, 2024, 5.5] Петя изготовил игральный кубик необычной формы. Он срезал углы у куба, так чтобы получился многогранник с 14 гранями, 8 из которых треугольники, а 6 — восьмиугольники. На каждой грани он записал число от 1 до 14 каждое по одному разу так, что суммы чисел на противоположных гранях оказались одинаковы. Петя подбросил кубик, и тот упал так, как указано на рисунке. Найдите сумму чисел на тех треугольных гранях, которые не видны.

Сумма чисел от 1 до 14 равна \(\frac{14\cdot15}{2}=105\). На многограннике 7 пар противоположных граней, и суммы чисел в каждой такой паре одинаковы. Значит, сумма каждой пары равна \(105:7=15\).

У усечённого куба треугольные грани образуют 4 пары противоположных граней. Сумма чисел на всех восьми треугольных гранях поэтому равна \(4\cdot15=60\). На рисунке видны треугольные грани с числами 1 и 4.

Сумма чисел на невидимых треугольных гранях: \(60-1-4=55\).

Ответ: 55.