10. sin 3x + sin x = 0.

Решение:

Используем формулу суммы синусов: \( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \).

\( 2 \sin \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 0 \)

\( 2 \sin(2x) \cos(x) = 0 \)

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) \( \sin(2x) = 0 \)

\( 2x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( x = \frac{\pi k}{2} \).

2) \( \cos(x) = 0 \)

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Заметим, что второе множество решений \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) является подмножеством первого множества \( x = \frac{\pi k}{2} \) (при \( k = 1 + 2n \)).

Следовательно, общее решение: \( x = \frac{\pi k}{2} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).