12. cos 4x + cos x = 0.

Решение:

Перенесём \( \cos x \) в правую часть:

\( \cos 4x = -\cos x \)

Используем свойство \( -\cos x = \cos(\pi - x) \) или \( -\cos x = \cos(\pi + x) \).

Рассмотрим случай \( \cos 4x = \cos(\pi - x) \):

\( 4x = \pm (\pi - x) + 2 \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Случай 1: \( 4x = \pi - x + 2 \pi k \)

\( 5x = \pi + 2 \pi k \)

\( x = \frac{\pi}{5} + \frac{2 \pi k}{5} \).

Случай 2: \( 4x = -(\pi - x) + 2 \pi k \)

\( 4x = -\pi + x + 2 \pi k \)

\( 3x = -\pi + 2 \pi k \)

\( x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2 \pi k}{3} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{5} + \frac{2 \pi k}{5} \) и \( x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2 \pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).