10. Сравните значения выражений (14 - 6√5) и (3 + √5), если f(x) = √x. g(x) = x.

Решение:

Сравним два выражения: \( 14 - 6\sqrt{5} \) и \( 3 + \sqrt{5} \).

Чтобы сравнить эти выражения, можно перенести все члены в одну часть и посмотреть на знак полученного выражения, либо сравнить их квадраты (если оба выражения положительны).

Способ 1: Перенос членов

Выражение \( 14 - 6\sqrt{5} - (3 + \sqrt{5}) \) = \( 14 - 6\sqrt{5} - 3 - \sqrt{5} \) = \( 11 - 7\sqrt{5} \).

Теперь сравним \( 11 \) и \( 7\sqrt{5} \). Возведём оба числа в квадрат:

• \( 11^2 = 121 \)
• \( (7\sqrt{5})^2 = 49 \times 5 = 245 \)

Так как \( 121 < 245 \), то \( 11 < 7\sqrt{5} \). Следовательно, \( 11 - 7\sqrt{5} < 0 \).

Это означает, что \( 14 - 6\sqrt{5} < 3 + \sqrt{5} \).

Способ 2: Сравнение квадратов (предварительно проверив знаки)

Число \( 3 + \sqrt{5} \) очевидно положительно.

Проверим знак \( 14 - 6\sqrt{5} \). Сравним \( 14 \) и \( 6\sqrt{5} \).

• \( 14^2 = 196 \)
• \( (6\sqrt{5})^2 = 36 \times 5 = 180 \)

Так как \( 196 > 180 \), то \( 14 > 6\sqrt{5} \). Значит, \( 14 - 6\sqrt{5} > 0 \).

Оба выражения положительны, можем сравнивать их квадраты:

• \( (14 - 6\sqrt{5})^2 = 14^2 - 2 \times 14 \times 6\sqrt{5} + (6\sqrt{5})^2 \)
• \( = 196 - 168\sqrt{5} + 180 = 376 - 168\sqrt{5} \)
• \( (3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 \)
• \( = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5} \)

Теперь сравним \( 376 - 168\sqrt{5} \) и \( 14 + 6\sqrt{5} \).

Сравним \( 376 - 14 \) и \( 6\sqrt{5} + 168\sqrt{5} \).

Сравним \( 362 \) и \( 174\sqrt{5} \).

Сравним \( 362^2 \) и \( (174\sqrt{5})^2 \).

\( 362^2 = 131044 \)

\( (174\sqrt{5})^2 = 174^2 \times 5 = 30276 \times 5 = 151380 \)

Так как \( 131044 < 151380 \), то \( 362 < 174\sqrt{5} \).

Значит, \( 376 - 168\sqrt{5} < 14 + 6\sqrt{5} \).

Следовательно, \( (14 - 6\sqrt{5})^2 < (3 + \sqrt{5})^2 \), и поскольку оба числа положительны, то \( 14 - 6\sqrt{5} < 3 + \sqrt{5} \).

Ответ: \( 14 - 6\sqrt{5} < 3 + \sqrt{5} \).