10. Сравните значения выражений f(29 - 8√13) и g(4 + √13), если f(x) = √x, g(x) = 3/x.

Сравнение значений выражений:

У нас есть две функции: \( f(x) = \sqrt{x} \) и \( g(x) = \frac{3}{x} \). Нам нужно сравнить \( f(29 - 8\sqrt{13}) \) и \( g(4 + \sqrt{13}) \).

Шаг 1: Вычисляем значение f(29 - 8√13).

Подставляем \( 29 - 8\sqrt{13} \) вместо \( x \) в функцию \( f(x) = \sqrt{x} \):

\[ f(29 - 8\sqrt{13}) = \sqrt{29 - 8\sqrt{13}} \]

Попробуем представить выражение под корнем в виде квадрата двучлена \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Ищем \( a \) и \( b \) такие, что \( a^2 + b^2 = 29 \) и \( 2ab = 8\sqrt{13} \), то есть \( ab = 4\sqrt{13} \).

Переберем возможные значения. Если \( a=4 \) и \( b=\sqrt{13} \), то \( a^2 = 16 \) и \( b^2 = 13 \). Проверим:

\[ a^2 + b^2 = 16 + 13 = 29 \]

Это совпадает с числом в выражении. Значит, мы можем представить \( 29 - 8\sqrt{13} \) как \( (4 - \sqrt{13})^2 \).

\[ f(29 - 8\sqrt{13}) = \sqrt{(4 - \sqrt{13})^2} \]

Так как \( 4 = \sqrt{16} \) и \( \sqrt{16} > \sqrt{13} \), то \( 4 - \sqrt{13} \) — положительное число. Поэтому:

\[ f(29 - 8\sqrt{13}) = 4 - \sqrt{13} \]

Шаг 2: Вычисляем значение g(4 + √13).

Подставляем \( 4 + \sqrt{13} \) вместо \( x \) в функцию \( g(x) = \frac{3}{x} \):

\[ g(4 + \sqrt{13}) = \frac{3}{4 + \sqrt{13}} \]

Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя \( 4 - \sqrt{13} \):

\[ g(4 + \sqrt{13}) = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{(4 + \sqrt{13})(4 - \sqrt{13})} \]

В знаменателе используем формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \):

\[ (4 + \sqrt{13})(4 - \sqrt{13}) = 4^2 - (\sqrt{13})^2 = 16 - 13 = 3 \]

Теперь подставим это обратно в выражение для \( g \):

\[ g(4 + \sqrt{13}) = \frac{3(4 - \sqrt{13})}{3} \]

Сокращаем 3:

\[ g(4 + \sqrt{13}) = 4 - \sqrt{13} \]

Шаг 3: Сравнение.

Мы получили, что \( f(29 - 8\sqrt{13}) = 4 - \sqrt{13} \) и \( g(4 + \sqrt{13}) = 4 - \sqrt{13} \).

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: \( f(29 - 8\sqrt{13}) = g(4 + \sqrt{13}) \)