10. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 16см, а боковое ребро 17см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды \( S_{полн} \) складывается из площади основания \( S_{осн} \) и площади боковой поверхности \( S_{бок} \): \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).

1. Площадь основания:

Пирамида правильная четырехугольная, значит, в основании лежит квадрат. Сторона основания \( a = 16 \) см.

\( S_{осн} = a^2 = 16^2 = 256 \) см².

2. Площадь боковой поверхности:

Боковая поверхность состоит из четырех равных равнобедренных треугольников. Для нахождения площади одного такого треугольника нам нужно найти его высоту — апофему \( h_a \) пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой \( h_a \), боковым ребром \( l = 17 \) см и половиной стороны основания ( \( \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см).

По теореме Пифагора:

\( h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2 \)
\( h_a^2 + 8^2 = 17^2 \)
\( h_a^2 + 64 = 289 \)
\( h_a^2 = 289 - 64 \)
\( h_a^2 = 225 \)
\( h_a = \sqrt{225} = 15 \) см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = 2 \cdot 16 \cdot 15 = 480 \) см².

3. Площадь полной поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 256 + 480 = 736 \) см².

Ответ: 736 см²