10. Тип 9.1 № 12012 Из пункта А в пункт Б, в том же направлении, что и из пункта А, выехал автомобиль. Расстояние между пунктами равно 200 км. В 6 часов утра из пункта А выехал автомобиль. Одновременно с ним из пункта Б выехал велосипедист. Двигаясь до пункта Б, водитель автомобиля сделал остановку на 4 часа, а затем с прежней скоростью поехал обратно. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2. Расстояние от пункта А.

Решение:

На рисунке представлен график движения велосипедиста (цифра 1) и автомобиля (цифра 2). Автомобиль выехал из пункта А в 6:00, а велосипедист из пункта Б. Расстояние между А и Б равно 200 км.

Анализ графика:

• График 1 (велосипедист): Начинается из точки (0, 200) на оси Y (что соответствует пункту Б) и движется к пункту А. За 20 часов он преодолевает 200 км. Скорость велосипедиста \( v_в = \frac{200 \text{ км}}{20 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч} \).
• График 2 (автомобиль): Начинается из точки (0, 0) на оси Y (что соответствует пункту А) в 6:00. Автомобиль сначала едет до пункта Б (200 км). По графику видно, что он достигает пункта Б в точке (4, 200). Затем он останавливается на 4 часа (от 4 до 8 часов на оси X) и едет обратно в пункт А.

Найдем, на каком расстоянии от пункта А автомобиль догнал велосипедиста.

Уравнение движения велосипедиста (от пункта А):

Велосипедист движется из Б в А. Расстояние от А до Б — 200 км. Время = 20 часов. Скорость = 10 км/ч.

\( S_в(t) = 200 - 10t \), где t — время в часах с момента старта (6:00).

Уравнение движения автомобиля (от пункта А):

Автомобиль едет из А в Б, останавливается, потом едет из Б в А.

1. Движение из А в Б:

Автомобиль проехал 200 км за 4 часа. Его скорость \( v_а = \frac{200 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч} \).

Уравнение движения до достижения Б: \( S_а(t) = 50t \), где t — время в часах с 6:00.

2. Остановка:

С 4-го по 8-й час (с 10:00 до 14:00) автомобиль стоит в пункте Б. \( S_а(t) = 200 \) для \( 4 \le t \le 8 \).

3. Движение из Б в А:

Автомобиль едет обратно из Б (200 км от А) с той же скоростью 50 км/ч. Время начала движения обратно — 8 часов.

Расстояние от А будет уменьшаться. Время движения обратно — \( t - 8 \).

\( S_а(t) = 200 - 50(t - 8) \) для \( t > 8 \).

\( S_а(t) = 200 - 50t + 400 = 600 - 50t \).

Найдём точку встречи.

Нас интересует момент, когда автомобиль догнал велосипедиста. Догнал — значит, они встретились, а так как автомобиль ехал из Б обратно, то они встретились где-то между А и Б.

Это произойдёт после того, как автомобиль выехал из Б, то есть когда \( t > 8 \).

Приравниваем уравнения движения:

\( S_в(t) = S_а(t) \)

\( 200 - 10t = 600 - 50t \)

\( 50t - 10t = 600 - 200 \)

\( 40t = 400 \)

\( t = \frac{400}{40} = 10 \text{ часов} \).

Время встречи — 10 часов после 6:00, то есть в 16:00.

Теперь найдём расстояние от пункта А в этот момент, подставив \( t=10 \) в любое из уравнений:

\( S_в(10) = 200 - 10 \times 10 = 200 - 100 = 100 \text{ км} \).

\( S_а(10) = 600 - 50 \times 10 = 600 - 500 = 100 \text{ км} \).

Ответ: 100