10. Точка А(m,n) находится в третьей четверти и принадлежит графику функции y = x³. Известно, что n=36m. Найдите координаты точки А.

Решение:

Точка \( A(m, n) \) принадлежит графику функции \( y = x^3 \), значит, \( n = m^3 \).

Также известно, что \( n = 36m \).

Приравнивая два выражения для \( n \), получаем:

\[ m^3 = 36m \]

\[ m^3 - 36m = 0 \]

\[ m(m^2 - 36) = 0 \]

Это уравнение имеет три корня:

1. \( m = 0 \). В этом случае \( n = 36 \times 0 = 0 \). Точка \( (0, 0) \) не находится в третьей четверти.
2. \( m^2 - 36 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( m^2 = 36 \) \(\Rightarrow\) \( m = 6 \) или \( m = -6 \).

Если \( m = 6 \), то \( n = 36 \times 6 = 216 \). Точка \( (6, 216) \) находится в первой четверти.

Если \( m = -6 \), то \( n = 36 \times (-6) = -216 \). Точка \( (-6, -216) \) находится в третьей четверти.

Поскольку точка \( A(m, n) \) находится в третьей четверти, её координаты \( m = -6 \) и \( n = -216 \).

Ответ: А(-6; -216).