10. Точки M и N лежат по одну сторону от плоскости β, а точки M и K — по разные стороны. Известно, что прямые MN, MK и NK пересекают плоскость β. Докажите, что точки их пересечения с плоскостью β лежат на одной прямой.

Точки M, N и K не лежат на одной прямой: если бы они лежали на одной прямой, то прямые MN, MK и NK совпадали бы, и M и K находились бы по одну сторону от β, поскольку прямая пересекает β не более чем в одной точке. Значит, M, N и K определяют плоскость γ.

Плоскости γ и β различны: γ содержит точки M и K по разные стороны от β, а потому не может совпадать с β. Они пересекаются по прямой.

Точки пересечения прямых MN, MK и NK с β принадлежат γ, поскольку эти прямые лежат в γ. Они также принадлежат β. Следовательно, все три точки лежат на прямой пересечения плоскостей γ и β.

Ответ: точки пересечения лежат на одной прямой.