10. Упростите выражение: \(\sqrt{26-8\sqrt{2+\sqrt{9+\sqrt{32}}}}\).

Упростим вложенные корни изнутри наружу.

\(\sqrt{32}=4\sqrt2\), поэтому \(\sqrt{9+\sqrt{32}}=\sqrt{9+4\sqrt2}=1+2\sqrt2\), так как \((1+2\sqrt2)^2=9+4\sqrt2\).

Тогда \(\sqrt{2+\sqrt{9+\sqrt{32}}}=\sqrt{3+2\sqrt2}=1+\sqrt2\), так как \((1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2\).

Получаем \(\sqrt{26-8(1+\sqrt2)}=\sqrt{18-8\sqrt2}=4-\sqrt2\), поскольку \((4-\sqrt2)^2=18-8\sqrt2\) и \(4-\sqrt2>0\).

Ответ: \(4-\sqrt2\).