10. В Д АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 84 и ВС = ВМ. Найдите АБ

Решение:

1. Анализ условия: В треугольнике ABC BM — медиана, BH — высота, AC = 84, BC = BM.
2. Свойство медианы: Так как BM — медиана, то M — середина AC. Следовательно, AM = MC = AC/2 = 84/2 = 42.
3. Свойство равнобедренного треугольника: Так как BC = BM, то треугольник BCM — равнобедренный.
4. Свойство высоты: BH — высота, значит, ∠BHC = 90°.
5. Рассмотрим треугольник BHC: В нем BC — гипотенуза.
6. Связь медианы и высоты: В треугольнике ABC, если медиана BM равна половине стороны AC (AM = MC = 42), то треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом ∠ABC = 90°.
7. Используем BC = BM: В прямоугольном треугольнике BHC, если BC = BM, это означает, что M лежит на окружности с центром B и радиусом BC. Но M лежит на AC.
8. Рассмотрим треугольник BCM: Так как BC = BM, то ∠BCM = ∠BMC.
9. В треугольнике ABC: ∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180°.
10. В прямоугольном треугольнике BHC: ∠BHC = 90°.
11. Рассмотрим треугольник ABM: По теореме косинусов: AB² = AM² + BM² - 2 * AM * BM * cos(∠AMB).
12. Учитывая BC = BM: В равнобедренном треугольнике BCM, ∠BMC = ∠BCM.
13. В треугольнике ABC: ∠ACB + ∠BAC = 90°.
14. Если BC = BM, то M — середина AC, и ∠ABC = 90°.
15. \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \] (по теореме Пифагора).
16. \[ AB^2 + BM^2 = 84^2 = 7056 \].
17. \[ BH \perp AC \].
18. \[ BM = MC = AM = 42 \].
19. \[ BC = BM = 42 \].
20. \[ AB^2 + 42^2 = 84^2 \]
21. \[ AB^2 + 1764 = 7056 \]
22. \[ AB^2 = 7056 - 1764 = 5292 \]
23. \[ AB = \sqrt{5292} \approx 72.75 \]

Ответ: