10. В единичном кубе A–D₁ найдите угол между прямыми A₁C и AD.

Возьмём координаты A₁(0, 0, 1), C(1, 1, 0), A(0, 0, 0), D(0, 1, 0).

Направляющие векторы: \(\overrightarrow{A_1C}=(1,1,-1)\), \(\overrightarrow{AD}=(0,1,0)\).

Их скалярное произведение равно \(1\); длины векторов — \(\sqrt{3}\) и \(1\). Значит, \(\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}\), откуда \(\varphi=\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}\approx54.7^\circ\).

Ответ: \(\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}\approx54.7^\circ\).