10) В электропечи мощностью 100 кВт полностью расплавили слиток стали за 2,3 часа. Какова масса слитка, если известно, что до начала плавления сталь необходимо было нагреть на 1500 °С? Потерями энергии пренебречь. (Удельная теплоёмкость стали — 500 Дж/(кг·°С), удельная теплота плавления стали — 84 кДж/кг.)

Решение:

Общее количество энергии, затраченной на нагрев и плавление стали, равно работе, совершённой электропечью за 2,3 часа.

Дано:

• Мощность \( P = 100 \) кВт = \( 100000 \) Вт;
• Время \( t = 2.3 \) часа;
• Начальная температура \( T_{нач} = 0 \) °С (до начала плавления сталь необходимо было нагреть НА 1500 °С, это значит, что температура плавления стали равна 1500 °С, а начальная температура, с которой начали нагревать, равна 0 °С, если не указано иное. По контексту, 1500 °С — это разница температур, необходимая для нагрева);
• \( ΔT = 1500 \) °С;
• Удельная теплоёмкость стали \( c = 500 \) Дж/(кг·°С);
• Удельная теплота плавления стали \( λ = 84 \) кДж/кг = \( 84000 \) Дж/кг.

Переведём время в секунды:

\( t = 2.3 \text{ часа} · 3600 \frac{\text{с}}{\text{час}} = 8280 \text{ с} \)

Общее количество энергии, выделившееся в печи:

\( E = P · t \)

\( E = 100000 \text{ Вт} · 8280 \text{ с} = 828000000 \text{ Дж} = 8.28 · 10^8 \text{ Дж} \)

Количество энергии, затраченной на нагрев стали до температуры плавления:

\( Q_{нагрев} = c · m · ΔT \)

Количество энергии, затраченной на плавление стали:

\( Q_{плавл} = λ · m \)

Общая энергия, затраченная на нагрев и плавление:

\( E = Q_{нагрев} + Q_{плавл} \)

\( E = c · m · ΔT + λ · m \)

\( E = m (c · ΔT + λ) \)

Выразим массу \( m \):

\( m = \frac{E}{c · ΔT + λ} \)

Подставим значения:

\( m = \frac{828000000 \text{ Дж}}{500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} · °\text{С}} · 1500 °\text{С} + 84000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \)

\( m = \frac{828000000}{750000 + 84000} \frac{\text{Дж}}{\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \)

\( m = \frac{828000000}{834000} \text{ кг} \)

\( m ≈ 992.8 \text{ кг} \)

Ответ: примерно 992.8 кг.