10. В группе туристов 24 человека. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист 3. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение:

Всего в группе 24 туриста. Каждый рейс вертолёт перевозит 6 человек.

Общее количество способов выбрать 6 туристов для первого рейса из 24 туристов равно числу сочетаний из 24 по 6, которое обозначается как $$C_{24}^6$$.

$$ C_{24}^6 = \frac{24!}{6!(24-6)!} = \frac{24!}{6!18!} $$

Количество благоприятных исходов — это те случаи, когда турист 3. оказывается в первой группе из 6 человек. Если турист 3. уже выбран, то нам нужно выбрать ещё 5 туристов из оставшихся 23 человек.

Количество способов выбрать 5 туристов из 23 равно числу сочетаний из 23 по 5, которое обозначается как $$C_{23}^5$$.

$$ C_{23}^5 = \frac{23!}{5!(23-5)!} = \frac{23!}{5!18!} $$

Вероятность того, что турист 3. полетит первым рейсом, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$$ P(\text{турист 3. в первом рейсе}) = \frac{C_{23}^5}{C_{24}^6} = \frac{\frac{23!}{5!18!}}{\frac{24!}{6!18!}} $$

Упростим выражение:

$$ P = \frac{23!}{5!18!} \cdot \frac{6!18!}{24!} = \frac{23! \cdot 6!}{24! \cdot 5!} $$

Известно, что $$6! = 6 \cdot 5!$$ и $$24! = 24 \cdot 23!$$. Подставим это:

$$ P = \frac{23! \cdot (6 \cdot 5!)}{(24 \cdot 23!) \cdot 5!} $$

Сократим $$23!$$ и $$5!$$:

$$ P = \frac{6}{24} $$

Сократим дробь:

$$ P = \frac{1}{4} $$

Альтернативное решение:

Вероятность того, что конкретный турист (например, турист 3) попадёт в первую группу из 6 человек, равна отношению размера группы к общему числу туристов, так как порядок выбора туристов случаен.

$$ P = \frac{\text{Количество мест в первом рейсе}}{\text{Общее количество туристов}} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $$

Ответ: $$\frac{1}{4}$$