10. В коробке лежат 5 красных и 7 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 4 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Решение:

Пусть \( X \) — случайная величина, равная количеству красных шаров, вынутых из коробки. Всего в коробке \( 5 + 7 = 12 \) шаров. Вынимают 4 шара.

Возможные значения \( X \): 0, 1, 2, 3, 4.

Найдем вероятность каждого значения \( X \) с помощью гипергеометрического распределения, формула которого:

\[ P(X=k) = \frac{C_{K}^{k} C_{N-K}^{n-k}}{C_{N}^{n}} \]

где:

• \( N \) — общее число шаров в коробке \( (N=12) \)
• \( K \) — общее число красных шаров \( (K=5) \)
• \( n \) — число вынутых шаров \( (n=4) \)
• \( k \) — число красных шаров среди вынутых
• \( C_{m}^{r} = \frac{m!}{r!(m-r)!} \) — число сочетаний.

1. Найдем \( P(X=0) \) (вынули 0 красных шаров, т.е. 4 синих):

\[ P(X=0) = \frac{C_{5}^{0} C_{7}^{4}}{C_{12}^{4}} = \frac{1 \times \frac{7!}{4!3!}}{\frac{12!}{4!8!}} = \frac{35}{495} \]

2. Найдем \( P(X=1) \) (вынули 1 красный шар, т.е. 3 синих):

\[ P(X=1) = \frac{C_{5}^{1} C_{7}^{3}}{C_{12}^{4}} = \frac{5 \times \frac{7!}{3!4!}}{495} = \frac{5 \times 35}{495} = \frac{175}{495} \]

3. Найдем \( P(X=2) \) (вынули 2 красных шара, т.е. 2 синих):

\[ P(X=2) = \frac{C_{5}^{2} C_{7}^{2}}{C_{12}^{4}} = \frac{\frac{5!}{2!3!} \times \frac{7!}{2!5!}}{495} = \frac{10 \times 21}{495} = \frac{210}{495} \]

4. Найдем \( P(X=3) \) (вынули 3 красных шара, т.е. 1 синий):

\[ P(X=3) = \frac{C_{5}^{3} C_{7}^{1}}{C_{12}^{4}} = \frac{\frac{5!}{3!2!} \times 7}{495} = \frac{10 \times 7}{495} = \frac{70}{495} \]

5. Найдем \( P(X=4) \) (вынули 4 красных шара, т.е. 0 синих):

\[ P(X=4) = \frac{C_{5}^{4} C_{7}^{0}}{C_{12}^{4}} = \frac{5 \times 1}{495} = \frac{5}{495} \]

Проверка суммы вероятностей:

\[ \frac{35 + 175 + 210 + 70 + 5}{495} = \frac{495}{495} = 1 \]

Математическое ожидание \( M(X) \) вычисляется по формуле:

\[ M(X) = \sum_{k=0}^{4} k P(X=k) \]\[ M(X) = (0 \times \frac{35}{495}) + (1 \times \frac{175}{495}) + (2 \times \frac{210}{495}) + (3 \times \frac{70}{495}) + (4 \times \frac{5}{495}) \]\[ M(X) = \frac{0 + 175 + 420 + 210 + 20}{495} = \frac{825}{495} \]

Упростим дробь:

\[ M(X) = \frac{825}{495} = \frac{5 \times 165}{3 \times 165} = \frac{5}{3} \]

Ответ: \(\frac{5}{3}\).